Algebraische Struktur

Wichtige algebraische Strukturen

Algebraische Axiome der Gruppe	Ring	kommutativer Ring	Schiefkörper (Divisionsring)	Körper
Kommutativgesetz bzgl. der Addition (additiv-kommutative Gruppe)	Ja	Ja	Ja	Ja
Distributivgesetz	Ja	Ja	Ja	Ja
Kommutativgesetz bzgl. der Multiplikation (multiplikativ-kommutative Gruppe)	No	Ja	No	Ja
Multiplikativ Inverses existiert für jedes Element außer 0.	No	No	Ja	Ja

Der Begriff der algebraischen Struktur (oder universelle Algebra, allgemeine Algebra oder nur Algebra) ist ein Grundbegriff und zentraler Untersuchungsgegenstand des mathematischen Teilgebietes der universellen Algebra. Eine algebraische Struktur ist eine Menge versehen mit Verknüpfungen auf dieser Menge. Eine Vielzahl der in der abstrakten Algebra untersuchten Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper sind spezielle algebraische Strukturen.

Verallgemeinerungen algebraischer Strukturen sind die heterogenen Algebren, die partiellen Algebren und die relationalen Strukturen.

Definition der algebraischen Struktur

Eine algebraische Struktur oder allgemeine Algebra ist ein geordnetes Paar

${\bigl (}A,(f_{i})_{i\in I}{\bigr )},$

bestehend aus einer nichtleeren Menge $A,$ der Grundmenge oder Trägermenge der Algebra, und einer Familie $(f_{i})_{i\in I}$ von inneren (endlichstelligen) Verknüpfungen, auch Grundoperationen oder fundamentale Operationen genannt, auf $A.$

Eine innere $n$-stellige Verknüpfung auf $A$ ist eine Funktion $f\colon \,A^{n}\to A,$ die $n$ Elemente $a_{1},\ldots ,a_{n}$ aus $A$ immer auf ein (eindeutig bestimmtes) Element $b$ aus $A$ abbildet, $b$ ist dann das Bild von $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ (Schreibweise: $b=f(a_{1},\ldots ,a_{n})$). Eine nullstellige Verknüpfung auf $A$ kann als ein eindeutig bestimmtes, ausgezeichnetes Element in $A,$ eine Konstante interpretiert werden. Konstanten werden meist mit einem speziellen Symbol (z. B. einem Buchstaben oder einem Zahlzeichen wie $e,0,1$) bezeichnet. Eine innere einstellige Verknüpfung ist eine Funktion von $A$ nach $A,$ die oft durch ein Symbol bezeichnet wird, das unmittelbar (d. h. ohne zusätzliche Klammern oder Trennzeichen) vor, hinter, über etc. das Element (Argument) geschrieben wird.

Beispiele: $-a,a!,{\overline {a}},a^{-1}$

Beim Bild einer zweistelligen Verknüpfung wird in der Regel das Verknüpfungssymbol zur Vereinfachung zwischen die beiden Argumente geschrieben.

Beispiele: $a+b,a\cdot b,f\circ g$ an Stelle von $+(a,b),\cdot (a,b),\circ (f,g)$

Meistens hat eine Algebra nur endlich viele fundamentale Operationen $f_{1},\ldots ,f_{m},$ man schreibt dann für die Algebra einfach nur $(A,f_{1},\ldots ,f_{m}).$

Der (Ähnlichkeits-)Typ einer Algebra ${\bigl (}A,(f_{i})_{i\in I}{\bigr )}$ ordnet jedem Index $i\in I$ die jeweilige Stelligkeit $n_{i}$ der fundamentalen Operation $f_{i}$ zu, d. h. er ist eine Funktion $\sigma \colon I\to \mathbb {N} _{0},\,i\mapsto \sigma (i):=n_{i}$ für $f_{i}\colon \,A^{n_{i}}\to A.$ Der Typ kann ebenso als Familie geschrieben werden: $\sigma =(n_{i})_{i\in I}.$

So wird zum Beispiel eine Gruppe meist als Struktur $(G,\cdot ,1,{}^{-1})$ aufgefasst, wobei $G$ die Trägermenge ist, $\cdot$ eine zweistellige Verknüpfung von $G\times G$ nach $G,1$ eine Konstante in $G$ und ^{${}^{-1}$} eine einstellige Verknüpfung von $G$ nach $G.$ Eine Gruppe ist damit eine Algebra vom Typ $(2,0,1).$

Bemerkungen

• Manchmal erweist es sich auch als zweckmäßig, die leere Menge $A=\emptyset$ als Trägermenge einer Algebra zuzulassen, etwa damit sichergestellt ist, dass die Menge aller Unteralgebren (siehe unten) einer Algebra einen algebraischen Verband bildet.

• Jede nichtleere Menge $A$ lässt sich zu einer trivialen Algebra $(A,\operatorname {id} )$ machen mit der identischen Abbildung $\operatorname {id} \colon A\to A,a\mapsto a.$ Ebenso kann $A$ als eine Algebra $(A,())$ mit einer leeren Familie $()=\emptyset$ von Verknüpfungen aufgefasst werden.

• Man könnte sogar „unendlichstellige Algebren“ mit unendlichstelligen Verknüpfungen zulassen (z. B. σ-Algebren), dies würde jedoch dem üblichen Verständnis von „algebraisch“ widersprechen.

• Eine Verallgemeinerung allgemeiner (vollständiger) Algebren sind partielle Algebren, bei denen nicht nur totale Funktionen sondern auch partielle Funktionen als Verknüpfung zugelassen sind. Z. B. sind Körper $(K,+,0,-,\cdot ,1,{}^{-1})$ streng genommen keine vollständigen Algebren, weil ^{${}^{-1}$} nur auf $K\setminus \{0\}$ definiert ist.

Arten algebraischer Strukturen

Die jeweiligen Verknüpfungen von Algebren des gleichen Typs besitzen oft noch gemeinsame Eigenschaften, sodass man Algebren nach ihrem Typ und nach diesen weiteren Eigenschaften in verschiedene Klassen einteilen kann. Solche Eigenschaften der konkret gegebenen Verknüpfungen einer Algebra spezifiziert man näher durch Axiome, die in der abstrakten Algebra (Teilgebiet der Mathematik) meist in Form von Gleichungen geschrieben werden und die Art der Algebra festlegen.

Ein Beispiel ist das Assoziativgesetz für eine innere zweistellige Verknüpfung $*$ auf einer Menge $A\colon$

$a*(b*c)=(a*b)*c$ für alle Elemente $a,b,c$ aus $A.$

Erfüllt nun die zweistellige Operation $\star$ einer Algebra $(S,\star )$ dieses Axiom (ersetze $*$ durch $\star$ und $A$ durch $S$), dann gehört die Algebra $(S,\star )$ zur Art der Halbgruppe bzw. sie ist eine Halbgruppe.

Unterstrukturen (Unteralgebren)

Ist $A$ die Grundmenge einer algebraischen Struktur, so kann man mit Hilfe der Verknüpfungen von $A$ auf einer Teilmenge $B\subseteq A$ von A eine neue algebraische Struktur des gleichen Typs definieren, falls die Menge $B$ so gewählt ist, dass die Verknüpfungen der ursprünglichen Struktur nicht aus der Menge $B$ herausführen. Das bedeutet, wenn man die Verknüpfungen der ursprünglichen algebraischen Struktur auf die Elemente von $B$ anwendet, dürfen keine Elemente entstehen, die nicht in $B$ sind – insbesondere müssen die Konstanten bereits in $B$ enthalten sein. In der konkreten Anwendung sind z. B. Untergruppen die Unterstrukturen einer Gruppe. Je nachdem, wie man die Gleichungen zur Definition der algebraischen Struktur gewählt hat, können die Unterstrukturen aber ganz verschieden aussehen. So lassen sich z. B. Gruppen so definieren, dass die Unterstrukturen Normalteiler sind.

Homomorphismen

Strukturtreue Abbildungen, sogenannte Homomorphismen, zwischen je zwei algebraischen Strukturen $A$ und $B$ vom selben Typ (sie haben also Verknüpfungen von jeweils gleichen Stelligkeiten und gegebenen spezifischen Eigenschaften) sind mit den Verknüpfungen der beiden algebraischen Strukturen verträglich. Jede algebraische Struktur hat deshalb ihren eigenen Homomorphismus-Begriff und definiert daher eine Kategorie.

Einander entsprechende Verknüpfungen in $A$ und $B$ werden meist mit dem gleichen Symbol bezeichnet. So wird etwa in jeder betrachteten Gruppe die Gruppenoperation einheitlich z. B. $\cdot$ geschrieben. Müssen im Einzelfall die beiden Verknüpfungen auseinandergehalten werden, werden in der Regel die Symbole ihrer Grundmengen oder ähnliches als Indizes beigefügt, also z. B. $\cdot _{A}$ und $\cdot _{B}$. Ein Homomorphismus $\varphi \colon A\to B$ ist eine Funktion, die für jede Verknüpfung $f$ (mit der Stelligkeit $n$) die folgende Bedingung erfüllt:

$\varphi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\varphi (x_{1}),\ldots ,\varphi (x_{n})).$

Die besonderen Schreibweisen der null-, ein- und zweistelligen Verknüpfungen werden berücksichtigt:

• Sind $k_{A},k_{B}$ jeweils die Konstanten nullstelliger Verknüpfungen, dann ist $\varphi (k_{A})=k_{B}.$
• Ist $-$ jeweils eine einstellige Verknüpfung, dann ist $\varphi (-(x)\,\!)=-(\varphi (x)).$ Eine einstellige Verknüpfung kann auch als Exponent, Index usw. geschrieben werden, so ergibt sich z. B. mit $x^{-1}:={}^{-1}(x)\,\!$ und mit $\varphi (x)^{-1}:={}^{-1}(\varphi (x))\,\!$ dann $\varphi (x^{-1})=\varphi (x)^{-1}.$
• Für zweistellige Verknüpfungen $+$ ist $\varphi (x_{1}+x_{2})=\varphi (x_{1})+\varphi (x_{2}).$

Ein surjektiver Homomorphismus wird Epimorphismus genannt, ein injektiver Monomorphismus. Ein Homomorphismus von $A$ in sich (also falls $B=A$ gilt) heißt Endomorphismus. Ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrfunktion ebenfalls ein Homomorphismus ist, heißt Isomorphismus. Ist der Isomorphismus gleichzeitig auch Endomorphismus, so heißt er Automorphismus.

Siehe auch: Homomorphiesatz.

Kongruenzrelationen

Auf algebraischen Strukturen lassen sich spezielle Typen von Äquivalenzrelationen finden, die mit den Verknüpfungen einer algebraischen Struktur verträglich sind. Diese werden dann Kongruenzrelationen genannt. Mit Hilfe von Kongruenzrelationen lassen sich Faktoralgebren bilden, d. h. es wird aus der ursprünglichen algebraischen Struktur eine Struktur gleichen Typs erzeugt, deren Elemente allerdings dann die Äquivalenzklassen bezüglich der Kongruenzrelation sind. Die Verknüpfungen sind aufgrund der speziellen Eigenschaften der Kongruenzrelation wohldefiniert. In vielen konkreten Anwendungen entsprechen die Äquivalenzklassen den Neben- bzw. Kongruenzklassen bestimmter Unterstrukturen z. B. Normalteilern bei Gruppen oder Idealen bei Ringen usw.

Produkte

Bildet man das mengentheoretische direkte Produkt der Grundmengen mehrerer allgemeiner Algebren des gleichen Typs, so kann man wiederum eine neue Algebra gleichen Typs auf dieser Produktmenge erhalten, indem man die neuen Verknüpfungen dieser Algebra komponentenweise durch die Verknüpfungen der ursprünglichen Algebren definiert. Diese kann allerdings andere Eigenschaften haben, als die ursprüngliche Algebra; z. B. muss das Produkt von Körpern nicht mehr ein Körper sein.

Für eine Verallgemeinerung des direkten Produktes von Algebren siehe: Subdirektes Produkt. Dort wird auch der Darstellungssatz von Birkhoff vorgestellt, nach dem jede Algebra subdirektes Produkt subdirekt irreduzibler Algebren ist.

„Zoo“ der algebraischen Strukturen

Beispiel: Gruppen

Als Beispiel für die Definition einer algebraischen Struktur betrachten wir eine Gruppe. Üblicherweise ist eine Gruppe definiert als ein Paar $(G,*),$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer zweistelligen Verknüpfung $*,$ sodass für alle $x,y,z$ in $G$ die folgenden drei Axiome erfüllt sind:

• $x*(y*z)=(x*y)*z$ (Assoziativität).
• Es gibt ein $e$ in $G$, sodass $e*x=x=x*e$ (neutrales Element).
• Zu jedem $x$ gibt es ein $i$ in $G$, sodass $x*i=e=i*x$ (inverses Element).

Manchmal findet man noch die Forderung der „Abgeschlossenheit“, dass $x*y$ wieder in $G$ liegen soll, aber aus der Sicht eines Algebraikers beinhaltet der Begriff der „zweistelligen Verknüpfung“ diese Eigenschaft bereits.

Diese Definition hat aber die Eigenschaft, dass die Axiome nicht allein durch Gleichungen ausgedrückt werden, sondern auch den Quantor „es gibt … so dass“ enthalten; in der allgemeinen Algebra versucht man deshalb solche Axiome zu vermeiden. Die Vereinfachung der Axiome auf eine reine Gleichungsform ist hier nicht schwierig: Wir fügen eine nullstellige Verknüpfung $e$ und eine einstellige Verknüpfung ^{${}^{-1}$} hinzu und definieren eine Gruppe als ein Quadrupel $(G,*,e,^{-1})$ mit einer Menge $G,$ einer zweistelligen Verknüpfung $*,$ einer Konstanten $e$ und einer einstelligen Verknüpfung ^{${}^{-1}$}, die den folgenden Axiomen genügen:

• $x*(y*z)=(x*y)*z.$
• $e*x=x=x*e.$
• $x*x^{-1}=e=x^{-1}*x.$

Es ist nun wichtig zu prüfen, ob damit tatsächlich die Definition einer Gruppe erreicht wurde. Es könnte ja sein, dass dadurch noch nicht alle Eigenschaften einer Gruppe gegeben sind oder gar zu viele. Tatsächlich stimmen die beiden Definitionen einer Gruppe überein.

Beispiele von algebraischen Strukturen

In der folgenden Liste werden alle (zweistelligen) Verknüpfungen, neutrale Elemente (= nullstellige Verknüpfungen), Inversenabbildungen (= einstellige Verknüpfungen) und Operatorbereiche angegeben.

Im normalen Gebrauch gibt man dagegen für algebraische Strukturen nur die mehrstelligen Verknüpfungen und die Operatorbereiche an (manchmal noch die neutralen Elemente), für alle anderen gibt es meist Standardnotationen.

Eine nicht vollständige Liste verschiedener algebraischer Strukturen:

• Gruppoid oder Magma, auch Binar oder Operativ (O,*): eine nichtleere Menge O mit einer zweistelligen Verknüpfung *.
• Halbgruppe (S,*): ein assoziatives Gruppoid.
• Monoid (M,*,1): eine Halbgruppe mit einem neutralen Element 1.
• Gruppe (G,*,1,⁻¹): ein Monoid mit einem inversen Element a⁻¹ zu jedem Element a – oder äquivalent dazu: eine assoziative Quasigruppe oder eine assoziative Loop.
• Abelsche Gruppe (G,+,0,−): eine kommutative Gruppe. Abelsche Gruppen werden bevorzugt additiv geschrieben. Das neutrale Element einer abelschen Gruppe wird mit 0 und das „Inverse“ eines Elements a als das Negative -a bezeichnet.
• Verband (V, $\cup$, $\cap$): eine Menge V mit zwei Verknüpfungen $\cup$ (z. B. Vereinigung) und $\cap$ (z. B. Durchschnitt), so dass (V, $\cup$) und (V, $\cap$) kommutative Halbgruppen sind und die Absorptionsgesetze erfüllt werden. (V, $\cup$) und (V, $\cap$) sind dann Halbverbände.
• Halbring (H,+,·): eine Menge H mit zwei Verknüpfungen + (Addition) und · (Multiplikation), mit denen (H,+) und (H,·) Halbgruppen sind und die Distributivgesetze erfüllt werden. Oft soll (H,+) aber auch noch kommutativ sein und/oder ein neutrales Element 0, das Nullelement des Halbringes, besitzen: Die Definitionen sind hier nicht einheitlich!
• Dioid (D,+,0,·,1): ein Halbring (D,+,·) mit einem absorbierenden Nullelement 0, so dass (D,+) ein Halbverband ist und (D,·,1), ebenso wie (D,+,0), ein Monoid.
• Boolescher Verband oder Boolesche Algebra (B, $\cup$, 0, $\cap$,1,^c): ein Dioid, der ein Verband (B, $\cup$, $\cap$) ist mit einem Komplement a^c zu jedem Element a. Äquivalent dazu: ein Boolescher Ring (siehe unten).
• Ring (R,+,0,-,·): ein Halbring, so dass (R,+,0,-) eine abelsche Gruppe ist.
• Das Konzept der Kleene-Algebra ist eine Verallgemeinerung der regulären Ausdrücken entsprechenden Operationen auf regulären Sprachen, Vereinigung, Konkatenation und Kleene-Stern.

Siehe auch: Mathematische Struktur

Versehen mit weiterer Struktur, Internalisierung

Algebraische Strukturen können mit Zusatzstrukturen ausgestattet werden, z. B. mit einer Topologie. Eine topologische Gruppe ist ein topologischer Raum mit einer Gruppenstruktur, so dass die Operationen Multiplikation und Inversenbildung stetig sind. Eine topologische Gruppe hat sowohl eine topologische, als auch eine algebraische Struktur. Andere häufige Beispiele sind topologische Vektorräume und Lie-Gruppen. Abstrakt gesprochen sind die Verknüpfungen in solchen Strukturen nun Morphismen in einer bestimmten Kategorie, etwa der der topologischen Räume im Fall topologischer Gruppen. Man spricht von einer Internalisierung in diese Kategorie. Im Spezialfall gewöhnlicher algebraischer Strukturen sind die Verknüpfungen Morphismen in der Kategorie der Mengen, also Funktionen.

Literatur

• Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage. AMS, Providence RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
• Stanley Burris, H. P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra. (math.uwaterloo.ca (PDF; 4,4 MB)).
• P. M. Cohn: Universal Algebra. Harper & Row, New York 1965.
• H. Ehrig, B. Mahr, F. Cornelius, M. Grosse-Rhode, P. Zeitz: Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-41923-3.
• Roger Godement: Algebra. Hermann, Paris 1968.
• G. Grätzer: Universal Algebra. Van Nostrant, Princeton NJ u. a. 1968.
• Pierre Antoine Grillet: Abstract Algebra. 2. Auflage. Springer, New York 2007, ISBN 978-0-387-71567-4.
• Thomas Ihringer: Allgemeine Algebra. Mit einem Anhang über Universelle Coalgebra von H. P. Gumm. Bd. 10, Heldermann, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9.
• N. Jacobson: Basic Algebra. Vol. I/II, W. H. Freeman, San Francisco 1980, ISBN 0-7167-1480-9 (auch ISBN 0-7167-1933-9).
• K. Meyberg: Algebra. Teil 1/2, Hanser, München 1975/76, ISBN 3-446-11965-5 (auch ISBN 3-446-12172-2).
• B. L. van der Waerden: Algebra I/II. 9./6. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1993, ISBN 3-642-85528-8 (auch ISBN 3-540-56801-8).
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.
• Jorge Martinez: Ordered Algebraic Structures. Springer, 2002, ISBN 1-4020-0752-3.