Trajektorie (Physik)

Die Bahnen der Planeten und Kometen um die Sonne sind annähernd ebene Ellipsen. Durch andere Planeten wird diese Bewegung mehr oder weniger stark gestört. Im Bild ist eine Umlaufbahn (rot) dargestellt, die gegenüber der Erdbahnebe (Ekliptik, grün) einen großen Neigungswinkel i hat.

Eine Trajektorie, auch Bahnkurve, ein Pfad oder Weg (manchmal auch nach dem Englischen: Orbit), ist in der Physik der Verlauf der Raumkurve, entlang der sich ein Körper oder ein Punkt, beispielsweise der Schwerpunkt eines starren Körpers, bewegt. Bei einem makroskopischen Körper, etwa einem Geschoss oder einem Ball, spricht man auch von der Flugbahn.

Die Form der Trajektorie wird mathematisch in der Kinematik beschrieben; Trajektorien ergeben sich dabei meist als Lösungen von Differentialgleichungssystemen. Die Untersuchung der Trajektorie als zeitabhängigen Verlaufs des Ortes in einem Bezugssystem ist Gegenstand der Dynamik. Die möglichen Ursachen von Änderungen des Bewegungszustandes werden in der Mechanik behandelt.

Mathematische Beschreibung

Eine Trajektorie im 3-dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ lässt sich in einer Parameterdarstellung durch den Ortsvektor ${\vec {r}}(\phi )$ als stückweise stetige Funktion eines geeigneten Parameters $\phi$ darstellen.

Die vektorielle Größe

${\vec {\Delta s}}=\int \limits _{{\vec {r}}_{1}}^{{\vec {r}}_{2}}\mathrm {d} {\vec {r}}(\phi )=\int \limits _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}{\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}}{{\rm {d}}\phi }}{\rm {d\phi }}={\vec {r}}(\phi _{2})-{\vec {r}}(\phi _{1})$

mit ${\vec {r_{i}}}={\vec {r}}(\phi _{i})$, entspricht der Differenz der Ortsvektoren des Merkmals zwischen dem Ende und dem Anfang der Bewegung. Zweckmäßigerweise wird dabei oft die Zeit als Parameter verwendet, $\phi _{i}\equiv t_{i}$.

Die Wegstrecke $s$ (zu lat. spatium „Weg“, „Zwischenraum“) bis zu einem Punkt auf der Trajektorie bei $\phi _{2}$ berechnet sich bezogen auf einen Startpunkt ($\phi _{1}$) mit Hilfe des stets positiven Linienelements ${\rm {d}}s$ bzw. der 2-Norm $\|...\|_{2}$ gemäß:

$s_{\phi _{1}}(\phi _{2})=\int \limits _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}{\rm {d}}s=\int \limits _{\phi _{1}}^{\phi _{2}}\left\|{\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}}{{\rm {d}}\phi }}\right\|_{2}{\rm {d}}\phi$

Für viele Fälle der kinematischen Beschreibung stellt die Wegstrecke einen geeigneten Parameter dar, da mit ihrer Hilfe die Trajektorie kinematisch als ${\vec {r}}(s)$ auf eine Art beschrieben werden kann, die weder die Kenntnis anderer physikalischer Größen wie z. B. der Geschwindigkeit, noch die Einführung eins willkürlich wählbaren Parameters erfordert.

Für die dynamische Beschreibung der Trajektorie (Bewegungsgleichungen) wird oft die Zeit $t$ als Parameter gewählt. Mit Hilfe der vektoriellen Geschwindigkeit ${\vec {v}}={\frac {{\rm {d}}{\vec {\Delta s}}}{{\rm {d}}t}}=\lim _{s_{2}\rightarrow s_{1}}{\frac {{\vec {\Delta s}}(s_{1},s_{2})}{t(s_{2})-t(s_{1})}}$ bzw. ihrem Betrag, der Bahngeschwindigkeit $v={\frac {{\rm {d}}s}{{\rm {d}}t}}=\left|{\vec {v}}\right|$, lassen sich die beiden Beschreibungen ineinander überführen.

Beispiele von Trajektorien

Unterschiedliche Flugbahnen bei einem schiefen Wurf ohne jegliche Reibung (Schwarz), mit Stokes-Reibung (Blau) oder mit Newton-Reibung (Grün)

• Die Flugbahn einer vom Boden aus abgeschossenen Kanonenkugel oder einer ballistischen Rakete nennt man ballistische Kurve.
• Die Trajektorie eines natürlichen oder künstlichen Himmelskörpers im Schwerefeld eines Zentralkörpers oder im freien Weltraum verläuft auf einer Keplerbahn. Bei geschlossenen Bahnen im Sonnensystem oder in der Galaxis spricht man eher von Umlaufbahn. In jedem Zentralfeld ist die Bahn eines Körpers nach dem Drehimpulserhaltungssatz eine ebene Kurve.
• In einem homogenen magnetischen Feld beschreiben geladene Teilchen spiralförmige Bahnen (Schraubenlinien) um die Magnetfeldlinien.
• Aufgrund des Trägheitsgesetzes verläuft die Trajektorie eines Körpers gerade, wenn auf ihn keine Kraft wirkt beziehungsweise ein Kräftegleichgewicht vorliegt.
• Im Straßenbau wird der Übergang zwischen Gerade und Kreis in Form einer Klothoide ausgeführt.
• Im Rennsport ist die Ideallinie die Trajektorie eines fahrzeugfesten Punkts, auf der ein Streckenabschnitt mit der größten Geschwindigkeit befahren werden kann.
• Das bohrsche Atommodell beschreibt die Flugbahn der Elektronen um den Atomkern als geschlossene Kreisbahnen.
• Die Meteorologie kennt die Trajektorie eines (hypothetischen) Luftpartikels. Es wird zwischen Rückwärts- und Vorwärtstrajektorien unterschieden. Erstere geben an, woher die Luft gekommen ist, letztere, wohin sie sich bewegt. Von der Trajektorie ist die Stromlinie zu unterscheiden; nur in einer stationären Strömung fallen Trajektorien und Stromlinien zusammen.
• In der Objektverfolgung wird eine Trajektorie dargestellt als eine Zeitsequenz von Koordinaten, welche den Bewegungspfad eines Objektes während der Laufzeit darstellt.
• In der technischen Chemie werden Trajektorien zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens einer chemischen Reaktion verwendet. Dazu werden in der so genannten Zustands- oder Phasenebene, bei der die augenblickliche Konzentration $\!\ c(t)$ über der Temperatur $\!\ T(t)$ aufgetragen werden, genutzt. Die Trajektorien zeigen dann die gleichzeitige Veränderung von Konzentration und Temperatur während eines Übergangsvorganges. Entlang der Trajektorie verläuft die Zeit. Dabei können die Graphen z. B. (abhängig von den Startbedingungen und natürlich weiteren Variablen) eine spiralförmige Form aufweisen.

Praktische Bestimmung von Trajektorien

Bei sichtbaren Objekten kann die Trajektorie meist mit fotografischen Mitteln ermittelt werden, wie zum Beispiel mit Photogrammetrie.

Die Trajektorie eines atomaren oder subatomaren Teilchens gibt es nur als anschauliche Hilfsvorstellung, da diese Teilchen durch die Quantenmechanik beschrieben werden müssen. Näherungsweise lassen sich solche Teilchenbahnen in Hodoskopen, Blasen-, Nebel- oder Drahtkammern sichtbar machen.

Siehe auch

• Wurfparabel
• Bürgi-Dunitz-Trajektorie
• Weltlinie
• Elementarteilchen
• Ortsvektor (Abschnitt Trajektorie)