Wurfparabel

Die Wurfparabel ist die Flugbahn, die ein Körper beim Wurf in einem homogenen Schwerefeld beschreibt, wenn man den Einfluss des Luftwiderstands vernachlässigt. Der schiefe Wurf stellt dabei den Regelfall dar – senkrechter und waagerechter Wurf sind Ausnahmefälle. Der Scheitel der Parabel befindet sich dabei am höchsten Punkt der Flugbahn, die Parabel ist nach unten geöffnet.

Auf der Erde ist das Schwerefeld nur bei kleinen Wurfweiten annähernd homogen. Dann ist die Parabelform eine gute Näherung. Streng genommen folgt der Körper aber einer ellipsenförmigen Kepler-Bahn.

Die ballistische Kurve ist die von der idealen Wurfparabel abweichende Kurve unter Einfluss des Luftwiderstandes. Die Wurfparabel ist die Idealisierung der ballistischen Flugbahn.

Unterschiedliche Flugbahnen bei einem schiefen Wurf:
 ohne jegliche Reibung (Parabelbahn)

mit Stokes-Reibung

mit Newton-Reibung

Wurfparabel ohne Luftwiderstand

Wurfparabel (Springbrunnen im Garten des Schlosses Belvedere, Wien, Österreich)

Grund für die Parabelform ist die Tatsache, dass während des Fluges nur die Schwerkraft auf den Körper einwirkt. Es liegt ein freier Fall vor. Zur Berechnung wird die Anfangsgeschwindigkeit in die zueinander senkrechten Komponenten x und y zerlegt, die unabhängig voneinander behandelt werden können. Die horizontale x-Komponente ist völlig unabhängig von der vertikalen y-Komponente, die nach oben gerichtet sei. Das hat folgende Konsequenzen (Startpunkt sei $x=0,y=0$):

• In horizontaler Richtung fliegt der Körper nach dem ersten Newtonschen Gesetz mit konstanter Geschwindigkeit v_x dahin, da in dieser Richtung keine Kraft auf ihn wirkt; bei konstanter Geschwindigkeit ändert sich die Entfernung linear mit der Zeit. Für diese Entfernung gilt die Formel

$\!\ x=v_{\mathrm {x} }t$

• In vertikaler Richtung bewirkt die Schwerkraft eine konstante Beschleunigung nach unten, nämlich die Schwerebeschleunigung g = 9,81 m/s². Die Geschwindigkeit v_y ist:

$v_{y}=v_{\mathrm {0y} }-gt\,.$

Der Ort y ergibt sich daraus durch Integration über die Zeit zu:

$y=v_{\mathrm {0y} }t-{\frac {g}{2}}t^{2}\,$ (→ allgemeine Formel des freien Falls).

Mathematische Beschreibung

Der Körper wird mit einer Geschwindigkeit v₀ unter dem Winkel $\beta$ schräg nach oben geworfen. Dann gilt für die Geschwindigkeitskomponenten, aus denen die Abwurfgeschwindigkeit durch lineare Superposition zusammengesetzt ist (unter Vernachlässigung des Luftwiderstands):

• horizontal: horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit:

$x(t)=v_{0}t\cos \beta \qquad (1)$

und

• vertikal: vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit plus Geschwindigkeitsänderung durch konstante Beschleunigung:

$y(t)=v_{0}t\sin \beta -{\frac {g}{2}}t^{2}\,.\qquad (2)$

Die vektorielle Bahngleichung lautet dann:

${\vec {r}}(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{0}t\cos \beta \\v_{0}t\sin \beta -{\frac {g}{2}}t^{2}\end{pmatrix}}$

Die explizite Bahngleichung im Ortsraum (indem man $(1)$ nach t auflöst und t in $(2)$ einsetzt) lautet:

$y(x)=x\tan \beta -{\frac {g}{2{v_{0}}^{2}\cos ^{2}\beta }}x^{2}$

(Bedeutung der weiteren Variablen: t ist die Zeit, g ist die Schwerebeschleunigung)

Reichweite

Die Reichweite R wird üblicherweise dadurch definiert, dass die Wurfparabel die Ausgangshöhe wieder erreicht, d. h.: $\!\ y(R)=0$. Damit kann man die Bewegungsgleichung nach R auflösen und erhält:

$R={\frac {{v_{0}}^{2}}{g}}\sin(2\beta )$.

Startwinkel für die maximale Reichweite

Da die Sinusfunktion bei $90^{\circ }$ ihren größten Wert $\sin 90^{\circ }=1$ hat, erreicht man bei Anfangshöhe h₀ = 0 die größte Reichweite für $\beta _{\mathrm {max} }=45^{\circ }$.

Maximale Reichweite mit einer Anfangshöhe $h_{0}\neq 0$

$\beta _{\mathrm {max} }=\arcsin {\frac {v_{0}}{\sqrt {2{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}}=\arccos {\sqrt {\frac {{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}{2{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}}=\operatorname {arccot} {\sqrt {1+{\frac {2gh_{0}}{{v_{0}}^{2}}}}}$

Die Formel mit dem Arkuskosinus ergibt sich aus der Darstellung für den Arkussinus, und für die letzte Darstellung werden die Argumente der beiden vorhergehenden Formeln durch einander geteilt. Die Anfangshöhe darf höchstens so tief unter dem Ziel liegen, dass dieses bei einem senkrechten Wurf mit der Wurfweite $0$ gerade noch erreicht werden kann, also:

$h_{0}\geq -{\frac {{v_{0}}^{2}}{2g}}$

Die von der Abwurfhöhe $h_{0}$ abhängige maximale horizontale Wurfweite beträgt $R_{\mathrm {max} }(v_{0},h_{0})={\frac {v_{0}}{g}}{\sqrt {{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}$ bei einer Flugdauer von ${\frac {1}{g}}{\sqrt {2{v_{0}}^{2}+2gh_{0}}}$.

Aus der Formel für die maximale Wurfweite ergeben sich durch Umstellen der Gleichung die minimale Abwurfgeschwindigkeit für vorgegebene Abwurfhöhe und Wurfweite zu $v_{0}(R,h_{0})={\sqrt {g{\sqrt {R^{2}+{h_{0}}^{2}}}-gh_{0}}}$ sowie ein optimaler Abwurfwinkel von $\beta (R,h_{0})=\arcsin {\sqrt {{\frac {1}{2}}-{\frac {h_{0}}{2{\sqrt {R^{2}+{h_{0}}^{2}}}}}}}$ und eine Flugdauer von ${\sqrt {{\frac {2}{g}}{\sqrt {R^{2}+{h_{0}}^{2}}}}}$.

Für $h_{0}=0$ ergeben sich jeweils die bereits bekannten Formeln.

Obere und untere Winkelgruppe

Beispiel zur oberen (blau; 71,1°) und unteren (orange; 18,9°) Winkelgruppe. Beide Wurfparabeln führen bei gleicher Anfangsgeschwindigkeit zum Ziel in 100 m Entfernung.

Soll durch einen Wurf ein Ziel auf gleicher Höhe in einer gegebenen Entfernung R_T erreicht werden, so gibt es für diese Aufgabe in Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit entweder keine, eine oder zwei Lösungen. Der erste Fall tritt ein, wenn die maximale Reichweite geringer als die Entfernung zum Ziel ist; der zweite Fall, wenn das Ziel gerade noch durch einen Wurf von 45° zu erreichen ist. Für noch höhere Anfangsgeschwindigkeiten existieren dann stets zwei Winkel, bei denen die Wurfparabel beide Male zum Ziel führt; dies sind die beiden positiven Winkel, welche die Gleichung

$\sin(\beta )\cos(\beta )={\frac {g}{2v_{0}^{2}}}R_{T}$

erfüllen. Dabei ist stets genau eine Lösung größer als 45°, die andere kleiner als 45°. Entsprechend werden in der Ballistik Lösungen mit einem Winkel über 45° als obere Winkelgruppe bezeichnet, die anderen als untere Winkelgruppe. Im Artilleriewesen spricht man von Steilfeuer beziehungsweise flachem Feuer.

Beispiel

Für einen Wurf (oder Schuss) zu einem 100 m entfernten Ziel auf gleicher Höhe muss die Anfangsgeschwindigkeit unter den üblichen idealen Annahmen (keine Reibung, Schwerebeschleunigung von 9,81 m/s²) mindestens 31 m/s betragen, um das Ziel zu erreichen. Mit diesem Wert für die Anfangsgeschwindigkeit ist es durch einen Wurf von 45° erreichbar und nur dadurch. Für jeden höheren Geschwindigkeitswert gibt es dann stets zwei Lösungen. Beispielsweise kann bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 40 m/s das Ziel sowohl mit einem Winkel von 18,9° wie auch mit dem von 71,1° erreicht werden; die Flugdauer ist für Lösungen aus der unteren Winkelgruppe jeweils kürzer, im Beispiel beträgt sie etwa 2,6 s gegenüber 7,7 s für die zweite Lösung.

Reichweite bei von null verschiedener Anfangshöhe

Für $\beta \neq 0$ gilt die allgemeine Formel

$R={\frac {{v_{0}}^{2}}{2g}}\sin(2\beta )\left[1+\left(1+{\frac {2gh_{0}}{{v_{0}}^{2}\sin ^{2}\beta }}\right)^{1/2}\right]$

für die Wurfweite $R$. Die maximale Reichweite und der zugehörige Startwinkel kann aus der einhüllenden Wurfparabel auch ohne Verwendung von Ableitungen bestimmt werden. Für h₀ > 0 ist $\beta _{\mathrm {max} }<45^{\circ }$, für h₀ < 0 folgt umgekehrt $\beta _{\mathrm {max} }>45^{\circ }$.

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt wird erreicht, wenn die vertikale Geschwindigkeitskomponente ihren Nulldurchgang hat, d. h., wenn sich eine zuerst nach oben gerichtete Bewegung in eine nach unten gerichtete Bewegung umkehrt. Wenn der Wurf nach oben gerichtet war, dann ist die Schwerebeschleunigung entgegengesetzt zur vertikalen Bewegungsrichtung des Körpers und wirkt dann nicht beschleunigend, sondern verzögernd, bis sie ihn auf null abgebremst hat und anschließend nach unten weiter beschleunigt. Im Scheitelpunkt wurde also die gesamte kinetische Energie (in vertikaler Richtung) umgesetzt in potentielle Energie.

Den Scheitelpunkt kann man berechnen, da der Wurf eine Parabelform hat, und der Scheitelpunkt somit zwischen den Nullstellen 0 und R liegt. Der Scheitelpunkt hat also die x-Koordinate ${\frac {1}{2}}R$. Die y-Koordinate erhält man durch die Bewegungsgleichung.

Aufgelöst, hat der Scheitelpunkt folgende Koordinaten:

$x_{\mathrm {S} }={\frac {\sin(2\beta )}{2}}{\frac {v_{0}^{2}}{g}}=\sin \beta \cos \beta {\frac {v_{0}^{2}}{g}}$

$y_{\mathrm {S} }={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\beta }{2g}}$

Erläuterung an einem Beispiel

Wurfparabel mit Höhen- und Zeitskala (Wurf mit ≈ 36 m/s unter 63°, Aufprall ohne Atmosphäre nach 8 s)

Wären weder Gravitation noch Luftwiderstand vorhanden, so würde der Körper dem Trägheitsprinzip folgend gleichförmig bewegt in die gleiche Richtung und mit gleicher Geschwindigkeit wie zu Anfang weiterfliegen (roter Pfeil).

Das Erdschwerefeld lenkt den Körper jedoch nach unten ab – und zwar mit der Zeit t quadratisch zunehmend:

• Nach 1 s liegt die tatsächliche Flugbahn um knapp 5 m tiefer als die Tangente am Ausgangspunkt (Abwurfpunkt),
• nach 2 s um das Vierfache (etwa 20 m),
• nach 3 s 45 m sowie
• nach 4 s 80 m und so weiter (Schwerebeschleunigung von 9,81 auf 10 m/s² gerundet).

Senkrechter Wurf

Der senkrechte Wurf ist ein wichtiger Spezialfall der Wurfparabel. Er lässt sich in zwei verschiedene Wurfrichtungen ausführen - nach oben (gegen die Schwerebeschleunigung) und nach unten (mit der Schwerebeschleunigung).

Der senkrechte Wurf nach oben entspricht einer ungestörten Überlagerung von geradlinig, gleichförmiger Bewegung nach oben und dem freien Fall nach unten. Wenn man dies in einer Grafik darstellt, so ergibt sich eine symmetrische Parabel, deren höchster Punkt dem Umkehrpunkt des Körpers entspricht. Dabei ergeben sich folgende Formeln:

Senkrechter Wurf (Springbrunnen im Garten des Schlosses Belvedere, Wien, Österreich)

Waagerechter Wurf (Springbrunnen im Garten des Schlosses Belvedere, Wien, Österreich)

$v=v_{0}-gt\,,$

$s=v_{0}t-{\frac {g}{2}}t^{2}\,.$

• Die maximale Wurfhöhe $h_{\mathrm {max} }\,$,

wird berechnet, indem man die Geschwindigkeit v = 0 setzt, dann zunächst die

• Steigzeit $t_{\mathrm {s} }={\frac {v_{0}}{g}}$

berechnet und schließlich mithilfe der unteren Gleichung s = h ermittelt.

Es ergibt sich:

$h_{\mathrm {max} }={\frac {{v_{0}}^{2}}{2\,g}}\,.$

• Die Wurfdauer $t_{\mathrm {w} }$ berechnet man, indem man in der unteren Gleichung s = h = 0 setzt und dann die quadratische Gleichung für t löst. Einfacher kann die Wurfdauer, da die Fallzeit $\!\ t_{\mathrm {f} }$ gleich der Steigzeit $\!\ t_{\mathrm {s} }$ ist, jedoch durch Verdoppelung von Letzterer ermittelt werden.

Der senkrechte Wurf nach unten entspricht einer Überlagerung von geradliniger Bewegung nach unten und freiem Fall nach unten. Dabei ergeben sich folgende Formeln:

$v=v_{0}+gt\,,$

$h=h_{0}-v_{0}t-{\frac {g}{2}}t^{2}\,.$

Waagerechter Wurf

Einen weiteren Spezialfall, für den sich die Gleichungen vereinfachen, bildet der waagerechte Wurf.

${\vec {r}}(t)={\begin{pmatrix}v_{0}t\\-{\frac {g}{2}}t^{2}\end{pmatrix}}$

${\vec {v}}(t)={\begin{pmatrix}v_{0}\\-gt\end{pmatrix}}$

Einhüllende Wurfparabel

Hüllkurve der Wurfparabeln mit gemeinsamer Anfangsgeschwindigkeit

Wird bei gegebener Anfangsgeschwindigkeit v₀ (und Anfangshöhe h₀ = 0) der Startwinkel $\!\ \beta$ verändert, so erreichen die verschiedenen Wurfparabeln unterschiedliche Punkte in der (vertikalen) Wurfebene. Die Reichweite dieser Wurfparabeln wird durch die einhüllende Wurfparabel begrenzt.

Die Gleichung der Hüllkurve der Wurfparabeln $y(x)=x\tan \beta -{\frac {g\,x^{2}}{2\,{v_{0}}^{2}\cos ^{2}\beta }}+h_{0}$ lautet

$y_{H}(x)={\frac {{v_{0}}^{2}}{2\,g}}-{\frac {g\,x^{2}}{2\,{v_{0}}^{2}}}+h_{0}$,

Sie entspricht demnach einem waagerechten Wurf ($\!\ \beta =0$) aus der maximal erreichbaren Wurfhöhe des senkrechten Wurfs mit dessen Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ und Anfangshöhe.

Wurfweite bei Würfen am Hang

Auch für Würfe an geneigten Ebenen kann man den Winkel für die maximale Reichweite bestimmen. Details finden sich in der englischsprachigen Wikipedia unter Rifleman’s rule.

Wurfparabel mit Luftwiderstand

Trajektorien mit Luftwiderstand bei verschiedenen Abschusswinkeln

Der Luftwiderstand bremst proportional zu v². Bei kleinen Geschwindigkeiten bleibt die Parabelform recht gut erhalten, wie man an der Flugbahn eines Golfballs erkennt. Die Grafik veranschaulicht den Einfluss der Luft auf die Flugbahn eines Federballs bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 65 m/s. Der Ball fällt am Ende seiner Flugbahn fast senkrecht zu Boden. Die maximale Flugweite ergibt sich nicht bei 45°, sondern bei einem Startwinkel um 20°. Bei kleineren Anfangsgeschwindigkeiten vergrößert er sich und nähert sich der 45°-Parabel an.

Weblinks

• Java-Applet zur Veranschaulichung des schiefen Wurfs