Menger-Schwamm

Menger-Schwamm nach der 4. Iterationsstufe

Der Menger-Schwamm (auch: Menger-Kurve) gehört wie das Sierpinski-Dreieck und die Koch-Kurve zu den Objekten der fraktalen Geometrie. Der nach Karl Menger benannte Schwamm wurde zum ersten Mal 1926 in seiner Arbeit über Dimensionalität von Punktmengen veröffentlicht. Der Mengersche Schwamm ist ein dreidimensionales Analogon der Cantor-Menge oder des Sierpinski-Teppichs.

Formale Definition

Formal lässt sich ein Menger-Schwamm M auf folgende Weise definieren:

$M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

wobei M₀ den Einheitswürfel bezeichnet und

$M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\text{und höchstens eines aus }}i,j,k{\text{ hat den Wert 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}$

Konstruktion

Überträgt man das Konstruktionsprinzip des Sierpinski-Teppichs auf einen Würfel, erhält man ein Gebilde, welches einem Schwamm ähnelt.

So wird für die Konstruktion eines Sierpinski-Teppichs ein Quadrat (und anschließend analog jedes seiner Teilquadrate) in jeweils $9=3\cdot 3$ Teilquadrate zerlegt, woraufhin man eines dieser 9 Teilquadrate entfernt, was in den ersten fünf Iterationsstufen zu folgenden Ergebnissen führt:

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  Stufe 0

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  Stufe 1

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  Stufe 2

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  Stufe 3

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  Stufe 4

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  Stufe 5

Analog wird zur Konstruktion eines Menger-Schwamms ein Würfel (und nachfolgend jeder seiner Teilwürfel) in jedem Iterationsschritt in $27=3\cdot 3\cdot 3$ Teilwürfel zerlegt, woraufhin man hier sieben dieser 27 Teilwürfel wieder entfernt. Zusammenfassend lässt sich die Konstruktionsvorschrift des Menger-Schwamms damit wie folgt formulieren:

Entstehungsreihe des Menger-Schwamms vom Einheitswürfel bis zur 4. Iteration

1. Ausgangslage ist ein Würfel.
2. Man unterteilt jede Oberfläche des Würfel in neun Quadrate, diese unterteilen den Würfel in 27 kleinere Würfel, ähnlich dem Zauberwürfel.
3. Jeder Würfel in der Mitte jeder Oberfläche und der Würfel im Inneren des großen Würfels wird entfernt. Es verbleibt ein durchlöcherter Würfel, der aus 20 Würfeln mit jeweils ${\tfrac {1}{27}}$ des Volumens des Ausgangswürfels besteht. Damit ist der neue Würfel der ersten Ordnung entstanden.
4. Die Schritte 1–3 dieses Verfahren werden auf jeden verbleibenden kleineren Würfel angewendet.

Das sukzessive Fortfahren dieses Verfahrens führt mit jedem Iterationsschritt zur weiteren Aushöhlung des Würfels. Führt man das Verfahren unendlich weiter, ergibt sich das Fraktal Menger-Schwamm.

Allgemein gilt für den Menger-Schwamm, dass er nach $n$ Iterationen aus $N_{n}=20^{n}$ einzelnen Würfeln der entsprechenden Iterationsstufe besteht. Anders ausgedrückt erhält man 20 Kopien des Würfels bei Reduzierung der Größe auf ein Drittel. Die Seite des jeweils ausgehöhlten Würfels beträgt in Abhängigkeit von der Iteration $L_{n}=\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{n}$. Daraus leitet sich das Volumen für den n-ten Würfel $V_{n}=L_{n}^{3}N_{n}=\left({\tfrac {20}{27}}\right)^{n}$ ab. Durch die fortwährende Aushöhlung konvergiert das Volumen im Grenzfall $n\to \infty$ gegen Null, während die Oberfläche $O_{n}={\tfrac {1}{9}}\cdot \left({\tfrac {20}{9}}\right)^{n-1}\left[40+80\left({\tfrac {2}{5}}\right)^{n}\right]$ für $n\to \infty$ gegen unendlich strebt. Die Konvergenzgeschwindigkeit ist dabei vergleichsweise schnell; bereits ab dem 16. Konstruktionsschritt sind nur noch 1 % des Volumens vom Einheitswürfel M₀ vorhanden.

Der genaue Wert der Hausdorff-Dimension des Menger-Schwamms ergibt sich aus der Definition:

$D=-\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\log(N_{n})}{\log(L_{n})}}={\frac {\log(20)}{\log(3)}}=2{,}726833\ldots$

Der „Körper“ des Menger-Schwamms besitzt demnach eine Hausdorff-Dimension kleiner als 3 (im Gegensatz zu nicht-fraktalen, tatsächlich 3-dimensionalen Körpern), während gleichzeitig seine Oberfläche eine Hausdorff-Dimension größer als 2 besitzt (im Gegensatz zur 2-dimensionalen Oberfläche nicht-fraktaler Körper). Oder anders ausgedrückt: der Menger-Schwamm ist ein Gebilde, das eine „krumme“ (fraktale) Dimension besitzt, die zwischen einer zweidimensionalen Fläche und einem dreidimensionalen Würfel liegt.

Eigenschaften

Jede Fläche des Menger-Schwamms ist ein Sierpinski-Teppich; außerdem ergibt der Schnitt des Gebildes mit einer Diagonalen oder Mittellinie der Seitenfläche des Einheitswürfels M₀ die Cantor-Menge. Als Schnittmenge abgeschlossener Mengen handelt es sich beim Menger-Schwamm topologisch betrachtet um eine abgeschlossene Menge, und nach dem Überdeckungssatz von Heine-Borel ist diese auch kompakt. Er ist außerdem überabzählbar und sein Lebesgue-Maß ist 0.

Menger zeigte 1926, dass die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension des Schwamms zur entsprechenden Kurve gleich ist. Sie ist damit eine sogenannte räumliche Universalkurve und ist in der Lage, sämtliche Kurven mit einer Dimension ≥3 darzustellen (→ Homöomorphismus). Beispielsweise lassen sich damit Geometrien der Schleifenquantengravitation in einen Menger-Schwamm einbetten.

Der Menger-Schwamm besitzt eine selbstähnliche Struktur.

Universalität

Die Menger-Kurve ist die universelle Kurve, d. h. jeder eindimensionale kompakte metrische Raum lässt sich in die Menger-Kurve einbetten.

Bedeutung in der Gruppentheorie

In der Geometrischen Gruppentheorie definiert man zu jeder endlich erzeugten Gruppe eine Metrik auf dem Cayley-Graphen und, falls die Gruppe wort-hyperbolisch ist, den „Rand im Unendlichen“ des Graphen. Viele Eigenschaften endlich erzeugter unendlicher Gruppen lassen sich aus diesem Rand im Unendlichen ableiten.

Dahmani, Guirardel und Przytycki haben (aufbauend auf Ergebnissen von Kapovich und Kleiner) bewiesen, dass in gewissem Sinne fast alle endlich erzeugten Gruppen als Rand den Menger-Schwamm haben.

Um dieses Ergebnis präzise zu formulieren braucht man zunächst den Begriff der „überwältigenden Wahrscheinlichkeit“. Dieser ist wie folgt definiert. Zu einer Zahl $d$ mit $0<d<1$ betrachte man alle Gruppen mit $n$ Erzeugern und (höchstens) $dL$ Relationen der Länge (höchstens) $L$. Eine Eigenschaft $P$ trifft (für das gewählte $d$) mit überwältigender Wahrscheinlichkeit zu, wenn für jedes $n$ gilt: für $L\to \infty$ geht der Anteil der Gruppen mit der Eigenschaft $P$ gegen 100 %.

Mit dieser Definition kann man dann Wahrscheinlichkeitsaussagen über Gruppen formulieren und beweisen. Gromow hat bewiesen, dass man für $d>{\frac {1}{2}}$ mit überwältigender Wahrscheinlichkeit die triviale Gruppe oder Z/2Z (die Gruppe mit 2 Elementen) bekommt. Deshalb betrachtet man in der Theorie der zufälligen Gruppen nur den Fall $d<{\frac {1}{2}}$.

Für $d<{\frac {1}{2}}$ bekommt man nach Gromow mit überwältigender Wahrscheinlichkeit eine hyperbolische Gruppe $G$ mit kohomologischer Dimension $cd(G)=2$ und deshalb eindimensionalem Rand.

Für eindimensionale Ränder hyperbolischer Gruppen gibt es nach einem Satz von Kapovich-Kleiner nur 3 Möglichkeiten: den Kreis, den Sierpinski-Teppich oder den Menger-Schwamm. Die ersten beiden Möglichkeiten kommen nach Ergebnissen von Kapovich-Kleiner und Dahmani-Guirardel-Przytycki „mit überwältigender Wahrscheinlichkeit“ nicht vor, weshalb also im einzig interessanten Fall $d<{\frac {1}{2}}$ der Rand mit überwältigender Wahrscheinlichkeit ein Menger-Schwamm ist.

Literatur

• Karl Menger: Dimensionstheorie, B.G Teubner Publishers, Leipzig 1928.
• Karl Menger: Über die Dimensionalität von Punktmengen (Erster Teil) im Jahr 1923 Monatshefte für Mathematik und Physik (Heft 33), Seiten 148–160. pdf
• Karl Menger: Über die Dimensionalität von Punktmengen (Zweiter Teil), im Jahr 1926, Monatshefte für Mathematik und Physik (Heft 34). pdf
• Benoît Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. Birkhäuser Verlag Basel, Boston, Berlin 1991, ISBN 3-7643-2646-8.
• François Dahmani, Vincent Guirardel, Piotr Przytycki: 'Random groups do not split', Math. Ann. 349 (2011), no. 3, 657–673, http://front.math.ucdavis.edu/0904.3854
• Michail Kapovich, Bruce Kleiner: 'Hyperbolic groups with low-dimensional boundary', Ann. Sci. Ecole Sup. (4) 33 (2000), no.5, 647-669, http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_2000_4_33_5_647_0

Weblinks

 Commons: Menger-Schwamm – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Menger Sponge – von MathWorld (engl.)
• Institut für Visualisierung und Interaktive Systeme – Menger-Schwamm
• 3-D-Modell des Menger-Schwamms zum interaktiven Drehen
• Menger Schwamm Modifikation für minetest
• Interaktive Modellierung und Berechnung des Menger-Schwamms