Symmetrisches Polynom

In der Mathematik heißt ein Polynom in mehreren Unbestimmten symmetrisch, wenn man die Unbestimmten untereinander vertauschen kann, ohne das Polynom zu verändern.

Formale Definition

Es seien $n>1$ eine natürliche Zahl, $A$ ein Ring. Dann heißt ein Polynom $p\in A[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ symmetrisch in $X_{1},\ldots ,X_{n}$, wenn

$p(X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (n)})=p(X_{1},\ldots ,X_{n})$ für alle Permutationen $\sigma \in S_{n}$

gilt.

Äquivalente Beschreibungen sind:

• Für alle $k\neq m$ ist

$p(X_{1},\ldots ,X_{k-1},X_{k},X_{k+1}\ldots ,X_{m-1},X_{m},X_{m+1},\ldots ,X_{n})=p(X_{1},\ldots ,X_{k-1},X_{m},X_{k+1},\ldots ,X_{m-1},X_{k},X_{m+1},\ldots ,X_{n}),$

das heißt, man kann zwei beliebige Unbestimmte gegeneinander austauschen.

• Es sei

$p=\sum _{e_{1}\geq 0,\ldots ,e_{n}\geq 0}a_{e_{1},\ldots ,e_{n}}X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n}^{e_{n}}.$

Dann ist $p$ genau dann symmetrisch, wenn

$a_{e_{1},\ldots ,e_{n}}=a_{e_{\sigma (1)},\ldots ,e_{\sigma (n)}}$ für alle $\sigma \in S_{n}$

gilt. Anschaulich bedeutet das, dass der Koeffizient eines Monoms von $p$ nur davon abhängt, welche Exponenten wie oft vorkommen, und nicht, bei welchen Unbestimmten.

• Die symmetrische Gruppe $S_{n}$ operiert durch

$(\sigma p)(X_{1},\ldots ,X_{n})=p(X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (n)})$

auf dem Polynomring $A[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Ein Polynom ist genau dann symmetrisch, wenn es invariant unter dieser Operation ist, d. h., wenn

$\sigma p=p$ für alle $\sigma \in S_{n}$

gilt. Eine mögliche Schreibweise für den Ring der symmetrischen Polynome ist deshalb

$A[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{S_{n}}.$

Körper der symmetrischen Funktionen

Wir ersetzen nun den Grundring $A$ durch einen Grundkörper $K$. Der Körper der symmetrischen Funktionen $L$ ist analog zu obiger Definition der Fixkörper unter $S_{n}$, also: $L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})^{S_{n}}$.
Die Körpererweiterung $K(X_{1},\ldots ,X_{n})/L$ ist galoissch mit Galoisgruppe $S_{n}$ und hat damit Grad $n!$

Beispiele

• Das Polynom $X+Y$ ist symmetrisch in $X$ und $Y$, jedoch nicht symmetrisch in $X,Y,Z$.
• Aus jedem beliebigen Polynom $P$ in den Variablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ lässt sich ein symmetrisches Polynom bilden indem man die Bilder unter den Permutationen addiert, also:

$\sum \limits _{\sigma \in S_{n}}\sigma (P)$

Elementarsymmetrische Polynome

Eine besonders wichtige Sorte symmetrischer Polynome sind die sog. elementarsymmetrischen Polynome. Sie sind Grundbausteine der symmetrischen Polynome in dem Sinn, dass sich letztere stets als Polynom in ersteren ausdrücken lassen und dies auf nur eine Weise.

Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad) $n$ von Unbestimmten und jedem (Polynom-)Grad $k\leq n$ gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom $\sigma _{n,k}$.

Beispiele

• Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen $X$, $Y$ sind

$\sigma _{2,1}=X+Y\qquad$ sowie $\sigma _{2,2}=X\cdot Y$

• In drei Variablen $X$, $Y$, $Z$ hat man die drei elementarsymmetrischen Polynome

$\sigma _{3,1}=X+Y+Z\qquad \sigma _{3,2}=X\cdot Y+X\cdot Z+Y\cdot Z\qquad \sigma _{3,3}=X\cdot Y\cdot Z$

Potenzsummen

Mit den Potenzsummen

$s_{n,m}(X_{1},\ldots ,X_{n}):=X_{1}^{m}+\ldots +X_{n}^{m}$, $m=0,1,2,\ldots$

für $m\in \mathbb {N}$ hat man eine weitere Sorte symmetrischer Polynome. Sie sind über die Newton-Identitäten mit den elementarsymmetrischen Polynomen $\sigma _{n,k}$ verbunden. Für $m=1,2,3$ hat man beispielsweise:

• $s_{n,1}=X_{1}+\dotsb +X_{n}=\sigma _{n,1}$
• $s_{n,2}=X_{1}^{2}+\dotsb +X_{n}^{2}=\sigma _{n,1}^{2}-2\sigma _{n,2}$
• $s_{n,3}=X_{1}^{3}+\dotsb +X_{n}^{3}=\sigma _{n,1}^{3}-3\sigma _{n,1}\sigma _{n,2}+3\sigma _{n,3}$

Und umgekehrt:

• $\sigma _{n,1}=s_{n,1}$
• $2\sigma _{n,2}=s_{n,1}^{2}-s_{n,2}$
• $6\sigma _{n,3}=s_{n,1}^{3}-3s_{n,1}s_{n,2}+2s_{n,3}$

Enthält der Ring $A$ die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$, so gilt ein ähnlicher Satz wie bei den elementarsymmetrischen Polynomen:

• Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in Potenzsummen schreiben.
• Diese Darstellung ist eindeutig.

Siehe auch

• Lagrange-Resolvente
• Symmetrische Funktion

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, Kapitel 4, Abschnitt 4.
• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, Kapitel III, §4.1.
• Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, Kapitel IV, §3.3.