Ordnungsrelation

In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen der „kleiner-gleich“-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen.

Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation

$R\subseteq M\times M$

auf einer Menge M mit bestimmten unten aufgeführten Eigenschaften, worunter immer die Transitivität ist.

Ist eine Menge M mit einer Ordnungsrelation R gegeben, dann nennt man das Paar $(M,R)$ eine geordnete Menge. Meist bevorzugt man an Stelle der Schreibweise $(a,b)\in R$ die sogenannte Infix-Notation $a\,R\,b$. Außerdem wird für Ordnungsrelationen in den seltensten Fällen ein Symbol wie $R$ verwendet. Stattdessen verwendet man häufig das Symbol „$\leq$“ oder ähnliche Symbole. Die Schreibweise $a<b$ verwendet man als Abkürzung für „$a\leq b$ und $a\neq b$“. Dies erweist sich als zweckmäßig, da für Relationen größtenteils Rechenregeln gelten, die denen in $\mathbb {R}$ (mit gewohntem „$\leq$“) entsprechen.

Es folgt eine Auflistung verschiedener Arten von Ordnungsrelationen mit Beispielen. Für Definitionen der Eigenschaften siehe transitiv, reflexiv und irreflexiv, asymmetrisch, antisymmetrisch, oder den Artikel Relation (Mathematik).

Totalordnung

Eine Relation $\leq$ auf einer Menge $M$ wird Totalordnung oder totale Ordnung genannt, wenn die Forderungen

$x\leq x$	(Reflexivität)
$x\leq y\land y\leq x\;\Rightarrow \;x=y$	(Antisymmetrie)
$x\leq y\land y\leq z\;\Rightarrow \;x\leq z$	(Transitivität)
$x\leq y\lor y\leq x$	(Totalität)

für alle $x,y,z\in M$ erfüllt sind. Da dies bei der Zahlengeraden, der „Linie“, der Fall ist, wird eine Totalordnung auch lineare Ordnung genannt. Ferner gibt es für totalgeordnete Untermengen von partiell geordneten Mengen die Bezeichnung Kette.

Die Umkehrrelation einer Totalordnung

• $y\preceq x:\Longleftrightarrow x\leq y$

ist wiederum eine Totalordnung. Bei Umkehrrelationen wird gerne das gespiegelte Symbol als Relationszeichen genommen. Im Fall der totalen (Quasi-)Ordnungen hat dies eine besondere Berechtigung, weil bei ihnen die inverse Relation eine Spiegelung ist.

Eine endliche Untermenge einer totalgeordneten Menge lässt sich gemäß dieser Ordnung in eindeutiger Weise sortieren, das heißt in eine („lineare“) Reihenfolge bringen derart, dass jedes Element mit seinem Folgeelement in der Ordnungsbeziehung steht. Solchermaßen geordnet nennt man die Sortierung aufsteigend. Gilt stattdessen zwischen zwei Nachbarelementen die gespiegelte Ordnungsrelation, nennt man die Sortierung absteigend. Der schwächere Begriff der totalen Quasiordnung (siehe unten) erlaubt das Vorhandensein von „Duplikaten“, also eine nicht eindeutige Sortierung.

Beispiel und Gegenbeispiel:

Ein Beispiel ist die Relation $\leq$ („kleinergleich“) auf den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$.

Ein Gegenbeispiel ist die Teilmengenbeziehung $\subseteq$ auf der Potenzmenge von $\mathbb {Z}$: sie ist nicht total, denn es gilt weder $\{1,2\}\subseteq \{2,3\}$ noch $\{2,3\}\subseteq \{1,2\}$.

Strenge Totalordnung

Eine Relation $<$ auf $M$ heißt strenge Totalordnung, wenn

$x<y\;\land \;y<z\;\;\Rightarrow \;\;x<z$	(Transitivität)
entweder $x<y$ oder $x=y$ oder $y<x$	(Trichotomie)

für alle $x,y,z\in M$ gilt.

Da eine strenge Totalordnung nicht reflexiv ist, ist sie keine Totalordnung. Eine Totalordnung im oben erklärten Sinn ist aber die zu $<$ gehörige Ordnung, die durch

$x\leq y\;\;:\Leftrightarrow \;\;x<y{\text{ oder }}x=y$

definiert ist.

Quasiordnung

Eine Quasiordnung ist eine transitive und reflexive Relation.

Beispiel:

Für komplexe Zahlen $a,b\in {\mathbb {C}}$ ist die über den Absolutbetrag durch „$a\leq b,{\text{ falls }}|a|\leq |b|$“ festgelegte Relation eine Quasiordnung.

Diese Quasiordnung ist nicht antisymmetrisch – also keine Halbordnung, denn betragsgleiche Zahlen müssen nicht identisch sein.

Jedoch handelt es sich um eine totale Quasiordnung, da je zwei Elemente vergleichbar sind.

Halbordnung

Eine Halbordnung – auch Partialordnung, Teilordnung oder partielle Ordnung genannt – ist eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation, bei der also

$x\leq x$	(Reflexivität)
$x\leq y\land y\leq x\;\Rightarrow \;x=y$	(Antisymmetrie)
$x\leq y\land y\leq z\;\Rightarrow \;x\leq z$	(Transitivität)

für alle $x,y,z\in M$ erfüllt sind. Die Umkehrrelation einer Halbordnung

• $y\preceq x:\Longleftrightarrow x\leq y$

ist wiederum eine Halbordnung.

Halbordnungen können in Hasse-Diagrammen visualisiert werden. Eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge heißt Oberhalbmenge, wenn sie zu jedem ihrer Elemente auch alle nachfolgenden Elemente (also alle, die rechts vom Relationssymbol stehen könnten) enthält.

Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man beweisen, dass jede Halbordnung in eine Totalordnung eingebettet werden kann. Für endliche Mengen muss man das Auswahlaxiom nicht voraussetzen, und in diesem Fall gibt es zur Konstruktion einer solchen Totalordnung auch explizite Algorithmen (siehe Topologische Sortierung).

Beispiele:

Jede Teilmengenbeziehung $A\subseteq B$ auf einem System ${\mathfrak {M}}$ von Mengen ist eine Halbordnung, denn sie ist

• transitiv, da die Teilmenge einer Teilmenge von A auch Teilmenge von A ist:

${C\subseteq B\subseteq A}\ \Rightarrow \ {C\subseteq A}$ für alle $A,B,C\in {\mathfrak {M}};$

• reflexiv, da jede Menge eine Teilmenge ihrer selbst ist:

${A\subseteq A}$ für alle $A\in {\mathfrak {M}};$

• und antisymmetrisch, da nur A selbst sowohl Teilmenge als auch Obermenge von A ist:

${(A\subseteq B)}\wedge {(B\subseteq A)}\ \Rightarrow \ {A=B}$ für alle $A,B\in {\mathfrak {M}}.$

Weitere Beispiele sind die Relation komponentenweise-kleiner-oder-gleich in einem Raum von n-Tupeln und die Teilerbeziehung zwischen den natürlichen Zahlen, die wie folgt definiert sind:

1. komponentenweise-kleiner-oder-gleich, $\leq ^{n}:$ Für eine fest gewählte natürliche Zahl $n$ und zwei Tupel aus einer Menge $V$ von $n$-Tupeln gilt:

   ${\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}\leq ^{n}{\left(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\right)}\ :\Longleftrightarrow \ a_{i}\leq b_{i}$ für jedes $i=1,2,\ldots ,n;$

2. Dies ist ein Spezialfall einer von einem Kegel induzierten Halbordnung, die zu dem Begriff der sogenannten verallgemeinerten Ungleichungen führt, die eine wichtige Rolle in der Optimierung spielen.
3. Teilerbeziehung, $\mid :$ Für zwei natürliche Zahlen gilt:

   ${a\mid b}\ ({a\ \mathrm {teilt} \ b}):\Longleftrightarrow \ \exists n\in \mathbb {N} :n\cdot a=b.$

Strenge Halbordnung

So wie sich die strenge Totalordnung von der Totalordnung dadurch unterscheidet, dass Reflexivität und Antisymmetrie durch Irreflexivität ersetzt werden, so wird eine strenge Halbordnung durch Irreflexivität und Transitivität bestimmt. Wie bei der strengen Totalordnung fällt bei der strengen Halbordnung der Gleichheitsstrich in der Notation weg oder wird gar durch ein Ungleichzeichen ersetzt. Ein Beispiel ist die Relation "echte Teilmenge" bei den Mengen.

Weitere Anwendung der Halbordnung

Um den Grad der Vorsortiertheit einer Menge zu messen, kann man die Anzahl der möglichen Fortsetzungen einer Halbordnung zu einer linearen Ordnung angeben. Ist beispielsweise die geordnete Menge $(X,\leq )$ mit $X=\{a,b,c\}$ und $a\leq b$ gegeben, so gibt es drei mögliche Fortsetzungen: $a\leq b\leq c$, $a\leq c\leq b$ und $c\leq a\leq b$. Der Grad der Vorsortiertheit ist also in diesem Fall $e(\leq )=3$. Das Sortierverfahren Natural Mergesort nutzt vorsortierte Teilstücke für eine vollständige Sortierung der Menge.

Minimale, maximale und andere Elemente

Sei $T$ eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge $P$.

Wenn $m\in T$ die Eigenschaft hat, dass es kein $x\in T$ mit $x<m$ gibt, dann heißt $m$ minimales Element von $T$. Falls es ein Element $m\in T$ gibt, das $\leq$ allen anderen Elementen von $T$ ist, dann heißt $m$ das kleinste Element von $T$. Ein kleinstes Element von $T$ (wenn es das gibt; z. B. hat die Menge der ganzen Zahlen kein kleinstes Element) ist immer eindeutig bestimmt (wegen der Antisymmetrie) und natürlich auch minimal. In einer Totalordnung bedeutet „kleinstes Element“ und „minimales Element“ dasselbe, aber in allgemeinen Halbordnungen kann eine Menge mehrere minimale Elemente haben, von denen dann keines das kleinste ist.

Es kann sogar vorkommen, dass eine (unendliche) Menge $T$ zwar ein einziges minimales Element hat, dieses aber nicht das kleinste Element der Menge ist (dann hat $T$ kein kleinstes Element). Beispiel:

Für $M:=\{[0,a]\mid 0<a<1\}\cup \{\{2\}\}$, versehen mit $\subseteq$ als Halbordnung, ist $\{2\}$ zwar das einzige minimale Element, aber nicht das kleinste, da $\{2\}\subseteq A$ nicht für alle $A$ aus $M$ gilt.

Wenn $T$ eine Teilmenge von $P$ ist und $p\in P$ die Eigenschaft hat, dass für alle $t\in T$ die Beziehung $p\leq t$ gilt, dann heißt $p$ eine untere Schranke von $T$. ($p$ kann, muss aber nicht Element von $T$ sein.) Wenn es eine größte untere Schranke der Menge $T$ gibt, dann nennt man diese auch die untere Grenze oder das Infimum von $T$. Eine untere Schranke ist also kleiner als das oder gleich dem Infimum.

Analog sind die Begriffe maximales Element, größtes Element, obere Schranke und obere Grenze bzw. Supremum definiert.

Eine Menge, die sowohl eine obere als auch eine untere Schranke hat, heißt beschränkt. (Analog sind „nach oben beschränkt“ und „nach unten beschränkt“ definiert.)

Man nennt eine Funktion $f$, die eine beliebige Menge $X$ in eine halb- oder total geordnete Menge (siehe unten) $P$ abbildet, beschränkt, wenn die Menge der Funktionswerte beschränkt ist, also wenn es ein $p$ und ein $q\in P$ gibt, sodass für alle $x\in X$

$p\leq f(x)\leq q$

gilt.

Lokal endliche Halbordnung

Eine Halbordnung $(M,\leqslant )$ heißt lokal endlich, wenn jedes Intervall $[x,y]:=\{z\in M:x\leqslant z\leqslant y\}$ eine endliche Menge ist.

Striktordnung

Eine strenge Ordnung oder Striktordnung ist transitiv und asymmetrisch. Der Begriff Asymmetrie fasst die Begriffe Irreflexivität und Antisymmetrie zusammen. Irreflexivität unterscheidet die Striktordnung von der Halbordnung und bedeutet, dass kein Element zu sich selbst in Beziehung steht. Eine Striktordnung ist also transitiv, irreflexiv und antisymmetrisch

Beispiele:

• Die Relation „(echt) kleiner“ auf $\mathbb {R}$
• die Relation „Echte Teilmenge“ in einer Potenzmenge
• die Relation „komponentenweise kleiner, aber nicht gleich“ auf dem Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$.

Strenge schwache Ordnung

Eine strenge schwache Ordnung R ist eine Striktordnung, bei der zusätzlich negative Transitivität gilt:

$\neg aRb\land \neg bRc\Rightarrow \neg aRc$

Eine strenge schwache Ordnung ist einer totalen Quasiordnung komplementär und umgekehrt.

Induktive Ordnung

Eine halbgeordnete Menge $(M,\leq )$ heißt induktiv geordnet, wenn jede linear geordnete Teilmenge von M eine obere Schranke besitzt. Sie heißt streng induktiv geordnet, wenn jede linear geordnete Teilmenge eine kleinste obere Schranke besitzt.

Nach dem Lemma von Zorn besitzt jede induktiv geordnete Menge ein maximales Element.

Fundierte Ordnung

Eine fundierte Ordnung ist eine Halbordnung, in der es keine unendlichen, echt absteigenden Ketten gibt (oder, äquivalent formuliert: bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt). Beispiel: Die Teilbarkeitsbeziehung | zwischen natürlichen Zahlen.

Wohlquasiordnung

Eine Wohlquasiordnung ist eine Quasiordnung mit der Eigenschaft, dass es zu jeder Folge $(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )$ zwei natürliche Zahlen $k<n$ gibt, so dass $p_{k}\leq p_{n}$ gilt.

Wohlordnung

Eine Wohlordnung ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. Einige Beispiele:

• „Kleinergleich“ auf den natürlichen Zahlen ${\mathbb {N}}$.
• Die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ mit der Ordnung $0<1<-1<2<-2<3<-3<\ldots$
• Die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ mit der Ordnung $0<1<2<3<\ldots <-1<-2<-3<\ldots$

Der Wohlordnungssatz garantiert die Existenz einer Wohlordnung für jede Menge, zum Beispiel auch für die reellen Zahlen $\mathbb {R}$. Er ist zum Auswahlaxiom äquivalent.

Baum

Ein Baum ist eine Halbordnung $(T,<)$, bei der für jedes $x\in T$ die Menge $\{y\mid y<x\}$ der Vorgänger von $x$ wohlgeordnet ist.

Verbandsordnung

Eine Verbandsordnung ist eine Halbordnung, in der es zu je zwei Elementen $v$ und $w$ immer ein Supremum $\sup(v,w)$ und ein Infimum $\inf(v,w)$ gibt.

Durch jede Verbandsordnung ist die algebraische Struktur eines Verbandes gegeben, indem man für je zwei Elemente $v$ und $w$ definiert:

• $v\vee w:=\sup(v,w),$
• $v\wedge w:=\inf(v,w).$

Umgekehrt lässt sich in jedem Verband durch

• $v\leq w\iff v\vee w=w$

für je zwei Elemente $v$ und $w$ eine Verbandsordnung definieren, so dass

• $\sup(v,w)=v\vee w,$
• $\inf(v,w)=v\wedge w.$

Eine verbandsgeordnete Menge wird daher oft „Verband“ genannt, sie selbst ist jedoch im Gegensatz zum Verband keine algebraische Struktur.

Vollständige Halbordnung

Eine vollständige Halbordnung (engl. pointed complete partial order, dcpo, cppo, auch cpo) ist eine Halbordnung mit einem kleinsten Element und der Eigenschaft, dass jede Teilmenge, die eine aufsteigende Kette $(x_{0}\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \dotsb )$ bildet, ein Supremum besitzt. Das Supremum muss dabei nicht in der Teilmenge selbst liegen.

Bei einer gerichteten vollständigen Halbordnung (engl. directed complete partial order, DCPO) muss im Gegensatz zur vollständigen Halbordnung die leere Menge kein Supremum besitzen. Es muss damit kein kleinstes Element geben.

Diese beiden Vollständigkeitsbegriffe spielen eine Rolle bei Beweisen mit Hilfe des Lemmas von Zorn. → Davon zu unterscheiden ist der an die Topologie angelehnte Begriff Ordnungsvollständigkeit.

Homomorphismen

Seien $X$ und $X'$ geordnete Mengen. Eine Abbildung $\varphi \colon X\rightarrow X'$ heißt isoton, ordnungserhaltend, ordnungstreu oder Ordnungshomomorphismus, wenn $x\leq y\Rightarrow \varphi (x)\leq \varphi (y)$ für alle $x,y\in X$ gilt.

Verwendung der Begriffe

Die Autoren benutzen den Begriff „Ordnung“ unterschiedlich. Er kann eine Halbordnung oder eine totale Ordnung bezeichnen. Vermutlich induziert von den Polaritäten „halb“ und „total“, findet man somit häufig die Abgrenzung

Ordnung (im Sinn von Halbordnung) $\quad \longleftrightarrow \quad$ totale Ordnung

oder auch

Halbordnung $\quad \longleftrightarrow \quad$ Ordnung (im Sinn von totale Ordnung).

Siehe auch

• Eine Ordnungsrelation auf einer Menge von Güterbündeln heißt in der Mikroökonomie Präferenzrelation.
• In der Algebra werden (meist totale) Ordnungsrelationen auf einer Menge betrachtet, die mit der Verknüpfung bzw. den Verknüpfungen auf dieser Menge verträglich sind. Siehe als Beispiel Geordneter Körper.
• In der Geometrie lassen sich unter bestimmten Bedingungen Anordnungen der Punkte auf jeder Geraden einführen. Man spricht hier zunächst von Zwischenrelationen (dies sind dreistellige Relationen), aus denen sich in wichtigen Spezialfällen totale, miteinander und mit der geometrischen Struktur verträgliche Ordnungen auf diesen Punktreihen ergeben.
• Jede totalgeordnete Menge lässt sich mit einer durch die Ordnung bestimmten topologischen Struktur, der Ordnungstopologie ausstatten.

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Ordnungsrelation – Lern- und Lehrmaterialien

Literatur

• Rudolf Berghammer: Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen. 2., durchgesehene und korrigierte Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-658-00618-1.
• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01638-8.
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Bd. 7). Springer, New York NY 2005, ISBN 0-387-24219-8.
• Ingmar Lehmann, Wolfgang Schulz: Mengen – Relationen – Funktionen. Eine anschauliche Einführung. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0162-3.