Mechanische Spannung

Physikalische Größe
Name	mechanische Spannung
Formelzeichen der Größe	$\sigma$ (Normalspannungen), $\tau$ (Scherspannungen)
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI Pascal (Pa) = N·m−2 M·L−1·T−2
Anmerkungen
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Siehe auch: Druck p

Die mechanische Spannung (Formelzeichen σ (kleines Sigma) und τ (kleines Tau), englisch stress, französisch contrainte) ist ein Begriff aus der technischen Mechanik, einem Teilgebiet der klassischen Mechanik. Da innerhalb der Mechanik keine Verwechslungsgefahr mit der elektrischen Spannung besteht, wird sie kurz als Spannung bezeichnet. Die mechanische Spannung σ auf einer gedachten Schnittfläche durch einen Körper, siehe Bild, ist die Kraftkomponente F_i (engl. force) in i-Richtung bezogen auf die Fläche A (engl. area, Normale n) auf der sie wirkt:

$\sigma _{ni}=\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta A}}$

Spannungskomponenten senkrecht zur Fläche werden Normalspannungen genannt und mit σ bezeichnet, solche tangential zur Fläche werden Schub- oder Scherspannungen genannt und mit einem τ bezeichnet. Die mechanische Spannung hat dieselbe physikalische Dimension M L⁻¹ T⁻² wie der Druck, nämlich Kraft pro Flächeneinheit. Der Druck ist eine in allen Raumrichtungen gleichermaßen wirkende Normalspannung.

Im Maschinen- und konstruktiven Ingenieurbau erfordert die Dimensionierung von Objekten die Kenntnis der auftretenden mechanischen Spannungen. Als Komponenten des Spannungstensors kommen die mechanischen Spannungen in physikalischen Gesetzen vor.

Innere Spannung eines Körpers illustriert anhand einer Kartoffel. Als äußere Kräfte wirken die Kräfte F₁ und F₂ sowie die Flächenlast p₁ auf den Körper. Die inneren Kräfte ΔF sind nur am kleinen Oberflächenstück ΔA eingezeichnet.

Schnittspannungen

Das in der Einleitung benutzte Schnittprinzip macht die Spannungen anschaulich klar und der Berechnung zugänglich. Durch einen gedanklichen Schnitt an einer interessierenden Stelle durch einen (festen, flüssigen oder gasförmigen) Körper wird der Körper geteilt, siehe Bild. Die beiden nun getrennten Teile wirkten im verbundenen Zustand aufeinander und diese Wirkung wird im freigeschnittenen Zustand durch Schnittspannungen auf der Schnittfläche ersetzt. Die Schnittspannungen müssen weder über die Fläche konstant noch senkrecht auf ihr sein, sie sind aber nach dem Prinzip Actio gleich Reactio an den beiden Schnittufern entgegengesetzt gleich groß.

Normal-, Biege-, Torsions-, wahre- und Nennspannung

Bei einer gleichförmigen Zug/Druckbelastung eines Stabes ist die Spannung über die Querschnittsfläche gleichmäßig verteilt. Die Normalspannung, d. h. die Spannung bei Normalkraftbeanspruchung (Zug/Druck), ergibt sich aus

$\sigma _{N}={\frac {F}{A}},$

wobei $F=F_{\perp }$ die Kraft in Richtung der Flächennormale und $A$ der Flächeninhalt des Stabquerschnitts ist. Bei den wahren Spannungen ist dies der Flächeninhalt beim verformten Stab und bei den Nenn- oder Ingenieursspannungen der Nennwert des undeformierten Ausgangsstabquerschnitts, siehe Zugversuch. Der Spannungstensor hat immer 3 (für alle drei Raumrichtungen) Normalspannungskomponenten, ist diese in eine Raumrichtung positiv, ist liegt in dieser Raumrichtung Zug vor, ebenso bei Druckspannungen ist dann die Normalspannungskomponente in diese Richtung negativ.

Bei einer Biegebelastung ungleich Null ergibt sich ein nicht konstanter Spannungsverlauf und die Biegespannung ist als jene Spannung definiert die infolge Biegung entsteht:

$\sigma _{B}(x,y,z)=-{\frac {M_{z}(x)\cdot I_{y}+M_{y}\cdot I_{yz}}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz})^{2}}}\cdot y+{\frac {M_{y}(x)\cdot I_{z}(x)+M_{z}(x)\cdot I_{yz}}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz})^{2}}}\cdot z$

Bei konstanter einachsiger Biegung $M_{y}(x)=M_{y}$ im Hauptträgheitsachsensystem vereinfacht sich die Formel zu:

$\sigma _{B}(z)={\frac {M_{y}}{I_{yy}}}\cdot z\quad {\text{und}}\quad |\sigma _{B}|_{max}={\frac {|M_{y}|}{|W_{y}|_{min}}}\quad {\text{mit}}\quad W_{y,positiv}={\frac {I_{yy}}{z_{max}}}\quad {\text{und}}\quad W_{y,negativ}={\frac {I_{yy}}{z_{min}}},$

wobei $M_{y}$ das Biegemoment um die y-Achse, $I_{yy}$ das Flächenträgheitsmoment um die y-Achse, $z$ der Abstand von der neutralen Faser (bei σ_B = 0), $z_{R}$ der maximal oder minimale auftretende Abstand der Schwerachse zur Randfaser und $W$ das Widerstandsmoment ist, siehe Balkentheorie. Die folgende Skizze verdeutlicht dies an einem Kragträger:

Als Vektor hat der Schnittspannungsvektor drei Komponenten, die von der Orientierung der Schnittfläche abhängen. Die senkrechten Pfeile an den Schnittufern deuten durch die Querkraft eingeleitete Schubspannungen an. Bei einem mit einer Querkraft belasteten Profil wie im Bild stellt sich ein nicht konstanter Schubspannungsverlauf über den Querschnitt ein. Greift die Querkraft außerhalb des Schubmittelpunktes an, tritt zusätzlich Torsion auf.

Bei der Torsion von Stäben mit Kreis(ring)querschnitt lautet die Schubspannung:

$\tau ={\frac {M_{t}}{I_{p}}}r\quad {\text{und}}\quad \tau _{\max }={\frac {M_{t}}{W_{t}}}\quad {\text{mit}}\quad W_{t}:={\frac {I_{p}}{r_{a}}}$

Darin ist M_t das Torsionsmoment, I_p das polare Flächenträgheitsmoment, W_t das Torsionswiderstandsmoment, r die radiale Zylinderkoordinate und r_a der Außenradius des (Hohl-) Zylinders.

Die Formeln zur Biege- und Torsionsspannung setzen lineare Elastizität voraus.

Die Tensorrechnung erlaubt, den Spannungszustand zunächst unabhängig von einem bestimmten Koordinatensystem zu beschreiben und erst nach einer Herleitung des jeweiligen Berechnungsverfahrens (wie obige Formeln) den geometrischen Eigenschaften des Körpers anzupassen, beispielsweise in Zylinderkoordinaten wie bei der Torsion.

Spannung, Spannungsvektor und Spannungstensor

Quader mit mechanischen Spannungen

Die an einer bestimmten Stelle wirkenden Spannungen werden in ihrer Gesamtheit durch die Spannungen in drei Schnittflächen beschrieben, die sich an der Stelle kreuzen, also durch drei Spannungsvektoren mit je drei spannungsartigen Komponenten. Die drei Spannungsvektoren bilden zusammengenommen den von Augustin-Louis Cauchy definierten Spannungstensor. Die Ausrichtung der Schnittflächen ist dabei beliebig, solange ihre Normalen linear unabhängig sind, denn als Tensor ist der Spannungstensor unabhängig vom gewählten Basissystem. Beispielhaft kann man die drei Schnittflächen jeweils senkrecht zu einer Richtung eines kartesischen Koordinatensystems mit x-, y- und z-Koordinaten wählen. Die drei Spannungsvektoren auf den drei Schnittflächen entsprechen dann den Zeilen der folgenden Matrix mit den Spannungen als ihren Komponenten:

$S={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}$

Bezüglich der Standardbasis entspricht sie dem Spannungstensor. Die Bedeutung der Indizes zeigt die Skizze eines herausgeschnittenen Volumenelements. Im Doppelindex gibt der erste Index die Richtung an, in die der Normalenvektor der Schnittfläche zeigt, und der zweite Index, in welcher Richtung die Spannung wirkt. Der Spannungstensor ergibt, multipliziert mit dem Normaleneinheitsvektor ${\hat {n}}$ einer Schnittfläche, den Spannungsvektor auf dieser Fläche (Kraftvektor pro Flächeneinheit):

${\vec {T}}^{({\hat {n}})}=S^{\top }{\vec {\hat {n}}}.$

Bei den „aktuellen“ oder „wahren“ Cauchy’schen Spannungen ist die Matrix symmetrisch, so dass also beispielsweise τ_xy = τ_yx ist und daher in obiger Formel die Transposition ( · )^T weggelassen werden kann.

Wenn die Spannungsmatrix in einem anderen Koordinatensystem aufgestellt wird, dann ändern sich ihre Komponenten in charakteristischer Weise, so wie sich auch die Komponenten eines geometrischen Vektors beim Wechsel des Basissystems ändern. Der Betrag des Vektors ändert sich dabei aber nicht und genauso gibt es beim Spannungstensor sogenannte Invarianten, die sich bei einem Basiswechsel nicht ändern. Beim Spannungstensor sind vor allem folgende Invarianten bedeutsam:

• der Druck, der der negative Mittelwert der Diagonalelemente ist und der proportional zur Spur der Spannungsmatrix ist,
• die von Mises Vergleichsspannung, die eine Invariante des Spannungsdeviators ist,
• die Hauptspannungen und
• die maximalen Schubspannungen, siehe unten.

Schub-, Druck- und Zugspannung

Die Diagonalelemente σ_xx,σ_yy,σ_zz in der Spannungsmatrix stellen die Normalspannungen dar, also die Spannungen, die senkrecht zur Koordinatenfläche wirken, wo Normalen- und Wirkrichtung übereinstimmen. Normalspannungen werden je nach Vorzeichen Zugspannung (positives Vorzeichen) oder Druckspannung (negatives Vorzeichen) genannt. Der negative Mittelwert der Normalspannungen in den drei Raumrichtungen wird Druck genannt. Er ist bei hydrostatischem Druck positiv und bei hydrostatischem Zug negativ. Letzteres kann nur in Festkörpern vorkommen.

Die nichtdiagonalen Elemente τ_ij werden als Schubspannungen bezeichnet. Sie wirken tangential zur Fläche, stellen also eine Scherbelastung dar.

Hauptspannung und Hauptspannungsrichtung

Ebener Spannungszustand

Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand

Zu jedem Spannungszustand im Gleichgewicht lassen sich durch Hauptachsentransformation drei paarweise senkrechte Richtungen finden, in denen bei Zug und Druck keine Schubspannungen auftreten, siehe Bilder. In diesen Hauptspannungsrichtungen wirken die Hauptspannungen σ_1,2,3.

Die Hauptspannungen lassen sich durch das Lösen der Gleichung $\det(S-\sigma E)=0$ errechnen, wobei E die 3×3-Einheitsmatrix ist. Ausmultiplizieren der Determinante det führt auf eine Gleichung dritten Grades in σ, deren Lösungen die gesuchten Hauptspannungen darstellen. Sie sind die Eigenwerte der Spannungsmatrix S und sämtlich reell, weil die Matrix symmetrisch ist. Ein hydrostatischer Spannungszustand liegt vor, wenn die drei Hauptspannungen gleich sind. (Hier treten keine Schubspannungen auf.)

Die jeweilige Hauptspannungsrichtung ergibt sich aus der Gleichung $S{\vec {e}}=\sigma {\vec {e}}$, wobei für $\sigma$ die errechnete Hauptspannung eingesetzt wird. Die Lösungen ${\vec {e}}_{1,2,3}$ sind Eigenvektoren der Spannungsmatrix S und geben die Richtung der Hauptspannungen an. In normierter Form bilden sie eine Orthonormalbasis des dreidimensionalen Raumes oder lassen sich entsprechend orthogonalisieren. In den Hauptspannungsrichtungen sind die Schnittspannungen betraglich extremal. Die Kurvenschar der Hauptspannungslinien nennt man Spannungstrajektorien.

Der Mohrschen Spannungskreis gibt einen graphischen Eindruck der Abhängigkeit der Normal- und Schubspannung von der Normalenrichtung in der von zwei Hauptspannungsrichtungen aufgespannten Ebene. Die Hauptschubspannungen

$\tau _{1}={\frac {|\sigma _{2}-\sigma _{3}|}{2}},\quad \tau _{2}={\frac {|\sigma _{3}-\sigma _{1}|}{2}},\quad \tau _{3}={\frac {|\sigma _{1}-\sigma _{2}|}{2}}$

sind kritische Schubspannungenen und treten in Schnittebenen auf, die normal zu den Winkelhalbierenden zwischen den Hauptspannungsrichtungen sind. Sei σ₁ die größte und σ₃ die kleinste Hauptspannung. Dann ist die maximale Schubspannung

$\tau _{\max }={\frac {|\sigma _{1}-\sigma _{3}|}{2}}.$

Werde die xy-Ebene wie in den Bildern durch die 1- und 2-Hauptspannungsrichtungen aufgespannt. Dann lauten die Hauptspannungen und die Hauptschubspannung bei einem gegebenen Spannungszustand in dieser Ebene

${\begin{aligned}\sigma _{1,2}=&{\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{yy}}{2}}\pm \tau _{3}\\\tau _{3}=&{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\end{aligned}}$

Die Winkel zur x-Achse, in denen die Hauptspannungen auftreten, ist

$\tan(2\cdot \varphi _{1,2})={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}.$

Zusammenhänge in der Festigkeitslehre

→ Hauptartikel: Festigkeitslehre

Ein realer, Spannungen ausgesetzter Körper deformiert sich.

Den Zusammenhang zur Deformation stellt für elastische Verformungen das Hooke’sche Gesetz her. Wichtigste Materialkonstanten sind dabei Elastizitätsmodul, Schubmodul und Querkontraktionszahl.

Die plastische Deformation wird durch die Fließbedingung, das Fließgesetz und das Verfestigungsgesetz beschrieben. Im Hauptspannungsraum, in dem die Hauptspannungen auf den Koordinatenachsen aufgetragen werden, stellt ein Spannungszustand einen Punkt oder Vektor dar, den man in zwei Komponenten zerlegen kann:

• Die (deviatorische) Komponente quer zur Raumdiagonalen im Hauptspannungsraum, also quer zum hydrostatischen Spannungsanteil, ist ein Maß dafür, wie groß die Schubspannungen je nach Schnittrichtung maximal werden können. Allein dieser Anteil ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen relevant. Er entspricht der von Mises Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese und ist eine Funktion des Betrages des Spannungsdeviators. Wenn diese Vergleichsspannung die Fließspannung des Stahls überschreitet, verformt sich der Stahl plastisch.
• Die Komponente in Richtung der Raumdiagonalen beschreibt den Druck; dieser Anteil ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen irrelevant, da er in keinerlei Schnittrichtung zu Schubspannungen führt, und insofern auch zu keiner plastischen Verformung.

Ein Festkörper kann auch Eigenspannungen besitzen, die ohne von außen an den Körper angreifende Kräfte auftreten.

Im Allgemeinen hängt das Deformationsverhalten eines Körpers von seiner Form und den Eigenschaften der Materialien ab, aus denen er besteht. Die Materialeigenschaften werden in einem Materialmodell mathematisch durch einen Zusammenhang zwischen Spannungs- und Verzerrungstensor sowie ihren Raten und zeitlichen Verläufen beschrieben. Mit den Materialmodellen können bei gegebenem Körper, seinen Lagerungen und Belastungen die Spannungen in ihm berechnet werden. Die Rheologie, Materialwissenschaft und Werkstofftechnik sowie Materialtheorie beschäftigen sich mit dem Fließ- und Deformationsverhalten von Materialien und machen es möglich die Spannungen rechnerisch zu ermitteln.

Zusammenhänge in der Strömungsmechanik

Den Zusammenhang zur Verformungsgeschwindigkeit in linear-viskosen Flüssigkeiten und Gasen (Fluide) stellt Newtons Zähigkeitsansatz her. Wichtigste Materialkonstante ist darin die dynamische Viskosität. Ursache der Viskosität ist die Reibung und der Impulstransport zwischen den Fluidelementen.

Bei laminarer Strömung und genügend großer Reynolds-Zahl kann im Großteil eines Strömungsfelds die Viskosität des strömenden Fluids vernachlässigt werden. Hier ist die dominierende Spannung im Fluid der Druck. Der Totaldruck teilt sich auf in den dynamischen und den statischen Druck. Der dynamische Druck speist sich aus der kinetischen Energie der Fluidelemente und der statische Druck, ist der Druck, den ein mit der Strömung mitbewegtes Fluidelement verspürt. Der statische Druck in Gasen wird mit Zustandsgleichungen und im Fall des idealen Gases durch Gasgesetze beschrieben.

Keinesfalls zu vernachlässigen ist der Einfluss der Viskosität in der Grenzschicht an umströmten Wänden. Die Dicke dieser Grenzschicht ist bei anliegender Strömung zwar sehr klein, in ihr bildet sich aber über die Wandschubspannung der Schubspannungswiderstand des umströmten Körpers, der mit dem Druckwiderstand zusammen den gesamten Strömungswiderstand eines Körpers ausmacht.

Bei Grenzschichtablösungen kann die Wandschubspannung verschwinden oder gar entgegen der Außenströmung wirken. Solche Ablösungen können dramatische Auswirkungen haben, wenn sie an Tragflügeln oder in Strahltriebwerken auftreten.

Siehe auch

• Festigkeit
• Spannungsoptik
• Elektrische Spannung

Literatur

• H. Balke: Einführung in die Technische Mechanik. Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer-Vieweg, 2014, ISBN 978-3-642-40980-6.
• Heinz Parkus: Mechanik der festen Körper. 2.Auflage, 6. Nachdruck Auflage. Springer, WienNewYork 2009, ISBN 978-3-211-80777-4.